Задача Дирихле в кольце для уравнения смешанного типа

Устанавливаются некоторые условия существования и единственности решения' следующей краевой задачи: в области $\{-\alpha<x<\beta,\ -\infty<\varphi<+\infty\}$ найти решение уравнения $u_{xx}+x^{2k+1}f(x)u_{\varphi\varphi}+g(x)u=0$, периодическое по $\varphi$ с периодом $2\pi$ и удовлетворяющее краевым условиям $u(-\alpha,\varphi)=F(\varphi)$, $u(\beta,\varphi)=G(\varphi)$, где $F(\varphi)$, $G(\varphi)$ — заданные функции с периодом $2\pi$, $f(x)>0$, $\alpha>0$, $\beta>0$. Показано, что решение в определенном смысле неустойчиво по отношению к малым изменениям $\alpha$. Доказательство основано на разложении решения в ряд Фурье по переменной $\varphi$ и исследовании краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, решениями которой являются коэффициенты Фурье. Указана связь изучаемых проблем с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения знакопеременной гауссовой кривизны, а также с теорией безмоментного состояния равновесия оболочек, имеющих форму таких поверхностей.