О сходимости последовательностей полиномов наилучшего среднеквадр этического приближения для непрерывных функций

Пусть $f(x)$ — интегрируемая по Риману $2\pi$-периодическая функция, $\{p_n\}$ — произвольная последовательность натуральных чисел и $N_n=p_n(2n+1)$, $n=1,2,\dots$ Каждой последовательности $\{p_n\}$ соответствует последовательность тригонометрических полиномов порядка $n$ наилучшего средне-квадратического приближения в заданной системе равноотстоящих точек
\begin{gather*} x_k=x_k^{N_1}=\frac{2k\pi}{N_n},\quad k=1,2,\dots,N_n, \\ T_n(f,x)=T_n^{N_n}(f,x)=\frac2{N_n}\sum_{k=1}^{N_n}f(x_k)D_n(x_k-x),\quad n=1,2,\dots \end{gather*}
Устанавливаются условия, которым должна удовлетворять заданная функция $f(x)$, для того чтобы соответствующая ей последовательность $\{T_n(f,x)\}$ сходилась к значению $f(x)$, а также доказывается, что условие Дини не является достаточным для сходимости последовательности $\{T_n(f,x)\}$ в случае, когда $p_n=1$, $n=1,2,\dots$ Кроме того, приводится пример суммируемой $2\pi$-периодической функции, для которой расходится сумма $\sigma_n^{(1)}(x)=\frac1{N_n}\sum_{k=1}^{N_n}f(x_k)\sin\biggl(n+\frac12\biggr)(x_k-x)$.