О максимальных $\pi$-критических подгруппах конечной группы

Пусть $G$ — конечная группа, $\pi$ — некоторая непустая совокупность простых делителей ее порядка. Подгруппа $B$ группы $G$ называется $\pi$-критической, если $B$ не содержит хотя бы один $\pi$-элемент группы $G$ и $\{x,B\}=G$ для любого $\pi$-элемента $x$ из $G$, не входящего в $B$. Доказана следующая
Теорема 4. Группа $G$ тогда и только тогда $\pi$-разложима, когда ее максимальная $\pi$-критическая подгруппа инвариантна в $G$.
Эта теорема является аналогом известной теоремы О. Ю. Шмидта, выражающей признак специальности конечных групп. С помощью приведенной выше теоремы доказывается также
Теорема 5. Группа $G$ тогда и только тогда $\pi$-разложима, когда ее коммутант содержится в пересечении всех ее максимальных $\pi$-критических подгрупп.
Последняя теорема представляет собой аналог одной известной теоремы Виландта. Доказывается ряд других теорем, связанных с различными условиями, накладываемыми на максимальные $\pi$-критические подгруппы.