Вполне линейные функционалы и рефлексивность в нормированных линейных структурах

В предложении 1 приводятся необходимые и достаточные условия непрерывности нормы в интервально полном $K_\sigma N$-пространстве. В теореме 2 дается критерий $(b)$-рефлексивности произвольного $KB$-пространства. Именно, $KB$-пространство $(b)$-рефлексивно тогда и только тогда, когда среди его подпространств нет подпространств, изоморфных обычному пространству $l$. В теореме 3 дается ответ на следующий вопрос. Пусть $X$ есть $K_\sigma N$-nространство с достаточным множеством вполне линейных функционалов. При каком условии для любого $x\in X$ найдется такой $f\in\bar X\cap X^*$, что $\|f\|=1$ и $f(x)=\|x\|$? Оказывается, что для этого необходима и достаточна непрерывность нормы в $X$, то есть чтобы всякий $(b)$-линейный функционал на $X$ был вполне линейным.