Достаточные условия существования разрывных решений для простейшего интеграла вариационного исчисления. I

Доказана новая теорема существования разрывного решения для положительно определенной квазирегулярной вариационной задачи на определение $\inf I[y]=\inf\int_a^bF(x,y,y')\,dx$. Вводится определение $I[y]$ на разрывных функциях $y(x)$ и устанавливается связь $I[y]$ с сопряженным интегралом в параметрической форме $J[c]$, где $c$ – кривая, соответствующая функции $y(x)$. Доказывается, что если интегрант $F$ удовлетворяет некоторым условиям, то задачи на минимум интегралов $I[y]$ и $J[c]$ равносильны, и обе задачи имеют решение, если существует, по крайней мере, одна допустимая функция (кривая). Функция $y=y(x)$, дающая минимум интегралу $I[y]$, может иметь не более чем счетное число точек разрыва.