О дифференцировании функций, осуществляющих приближенное конформное отображение

Рассматривается вопрос о снижении погрешностей при дифференцировании интерполяционного полинома $\omega_n(\zeta)$ функции $\omega_n(\zeta)$ (регулярной части ее), осуществляющей конформное отображение единичного круга (кругового кольца) на заданную односвязную (двусвязную) область. Предлагается вместо операции дифференцирования $D$ использовать оператор $D_m$ конечно-разностного дифференцирования, выбирая узлы для взятия разностей на окружности $|\zeta|=\rho$ симметрично по отношению к точке $\zeta=\rho e^{j\theta}$, где определяется производная. В результате исследования показано, что конечно-разностное дифференцирование идентично обычному дифференцированию с весом.
Например, для конечной односвязной области $\omega_n(\zeta)=\sum_{k=1}^mC_k^{\zeta k}$, $D_m\omega_n(\zeta)=\sum_{k=1}^m\sigma_kkC_k\zeta^{k-1}$, где $\sigma_k=\frac{\sin k\pi/(m+1)}{k\sin\pi/(m+1)}$. Приводятся формулы для весовых множителей при дифференцировании приближенных выражений отображающих функций для конечных, бесконечных и полубесконечных односвязных областейб а также для конечных двусвязных областей.