Оптимальное управление процессами, описываемыми интегральными уравнениями. I

При ограничениях, связанных с гладкостью рассматриваемых функций, формулируется и доказывается принцип максимума для следующей задачи. Пусть задана система уравнений (в векторной форме)
\begin{equation} \label{e1} x(t)=f(t)+\int_0^tK(t,x(s),u(s),s)\,ds \end{equation}
функционалы
\begin{gather} I_0(x,u)=\int_0^TK^{(0)}(x(s),u(s),s)\,ds,\notag\\ I_j(x,u)=\int_0^TK^{(n+j)}(x(s),u(s),s)\,ds+\Phi^{(j)}(x(T)) \qquad(j=1,2,\dots,l)\notag \end{gather}
и области $B\subset E_n$, $U\subset E_r$. Требуется найти такие $x(t)$, $u(t)$, чтобы выполнялось (1), $x(t)\in B$, $u(t)$ кусочно-гладко, $u(t)\in U$, $I_j(x,u)=0$ ($j=1,2,\dots,l$) и $I_0(x,u)$ достигал минимального значения.