Операторы Харди и Беллмана в пространствах, связанных с $H(\mathbb T)$ и $BMO(\mathbb T)$

Пусть $1\le p<\infty$ и функция $f\in L^p[0,\pi]$ имеет ряд Фурье $\sum\limits^\infty_{n=1}a_n\cos nx$. Согласно результату Харди ряд $\sum\limits^\infty_{n=1}n^{-1}\sum\limits^n_{k=1}a_k\cos nx$ является рядом Фурье некоторой функции $\mathcal H(f)\in L^p[0,\pi]$. Если же $1< p\le \infty$ и $f\in L^p[0,\pi]$, то ряд $\sum\limits^\infty_{n=1}\sum\limits^\infty_{k=n}k^{-1}a_k\cos nx$ является рядом Фурье некоторой функции $\mathcal B(f)\in L^p[0,\pi]$. Аналогичные результаты верны для синус-рядов, что позволяет определить оператор Харди $\mathcal H$ на $L^p(\mathbb T)$, $1\le p<\infty$, а оператор Беллмана $\mathcal B$ — на $L^p(\mathbb T)$, $1< p\le\infty$. В работе доказано, что оператор Беллмана ограниченно действует в $VMO(\mathbb T)$, а оператор Харди отображает некоторое подпространство $C(\mathbb T)$ также в $VMO(\mathbb T)$. Установлена также инвариантность некоторых классов функций с заданными мажорантами модулей непрерывности или наилучших приближений в пространствах $H(\mathbb T)$, $L(\mathbb T)$, $VMO(\mathbb T)$ относительно операторов Харди и Беллмана.