Классическое и обобщенное решения смешанной задачи для однородного волнового уравнения с суммируемым потенциалом. Часть I. Классическое решение смешанной задачи

Резольвентным подходом и использованием идеи А. Н. Крылова об ускорении сходимости рядов Фурье исследуются свойства формального решения смешанной задачи для однородного волнового уравнения с суммируемым потенциалом и нулевой начальной функцией. Такой метод позволяет получать глубокие результаты о сходимости формального ряда с произвольными граничными условиями и без завышения требований гладкости исходных данных. Рассматриваемые в статье разнопорядковые граничные условия таковы, что у оператора соответствующей спектральной задачи возможно наличие бесконечного множества кратных собственных значений и соответствующих им присоединенных функций. Получено классическое решение без завышения требований на начальную скорость $u'_t(x,0) =\psi(x)$. Показано, что при $\psi(x) \in L[0,1]$ формальное решение, являясь равномерным пределом классических, есть обобщенное решение, а когда $\psi(x) \in L_p[0,1]$, $1<p\leqslant 2$, формальное решение обладает значительно более гладкими свойствами по сравнению со случаем $\psi(x) \in L[0,1]$.