Неравенство Коляды для частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье

Хорошо известна проблема оценивания модулей гладкости функций из $L_q$ в терминах модулей гладкости из $L_p$. Начальным этапом оценивания модулей гладкости стало изучение свойств функций из классов Липшица и получение соответствующих вложений в работах Титчмарша, Харди, Литтлвуда, Никольского. П. Л. Ульянов для модулей непрерывности функций одной переменной доказал неравенство, позже названное его именем  — «неравенство Ульянова». Из этого неравенства, как следствие, получается классическое вложение Харди – Литтлвуда для пространств Липшица. Неравенство Ульянова точно в шкале классов $H_p^\omega$. В. И. Коляда показал, что это неравенство может быть усилено. Его усилением является неравенство Коляды. Оно находит применение при исследовании некоторых максимальных функций, измеряющих локальную гладкость. Неравенство Коляды точно в том смысле, что существует функция с любым заданным порядком модуля непрерывности в $L_q$, для которой эту оценку ни при одном значении $\delta$ улучшить нельзя. Неравенство Коляды было распространено на модули гладкости высших (натуральных) порядков Ю. В. Нетрусовым и М. Л. Гольдманом. У. Требельз распространил неравенство Коляды на модули гладкости положительного порядка. В настоящей статье изучаются частные модули гладкости функций двух переменных. Получены неравенства, распространяющие неравенство Коляды на частные модули гладкости в смешанной норме для функций с лакунарными коэффициентами Фурье. Построены функции, для которых неравенство Коляды для частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье имеют разные порядки, как функции $\delta$. Тем самым показано, что полученные оценки точны в определенном смысле. В статье также доказаны некоторые специфические свойства частных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье в пространствах Лебега со смешанной нормой.