О рождении предельного цикла из петли сепаратрисы сшитого седло-узла

В статье рассматриваются динамические системы на плоскости, задаваемые непрерывными кусочно-гладкими векторными полями. Такие системы используются в качестве математических моделей реальных процессов с переключениями. Важной задачей является нахождение условий рождения периодических траекторий при изменении параметров. В работе описана бифуркация рождения периодической траектории из петли сепаратрисы сшитого седло-узла  — аналог классической бифуркации петли сепаратрисы седло-узла гладкой динамической системы. Рассмотрим однопараметрическое семейство $\{ X_\varepsilon \} $ непрерывных кусочно-гладких векторных полей на плоскости. Пусть $z^0 $  — точка на линии переключения. Выберем локальные координаты $x$, $y$, в которых $z^0$ имеет нулевые координаты, а линия переключения задается уравнением $y = 0$. Пусть векторное поле $X_0 $ в полуокрестности $y \ge 0$ ($y \le 0$) совпадает с гладким векторным полем $X_0^ + $ ($X_0^ - $), для которого точка $z^0 $ является устойчивым грубым узлом (грубым седлом), а собственные подпространства матрицы линейной части поля в $z^0 $ не совпадают с прямой $y = 0$. Особая точка $z^0 $ называется сшитым седло-узлом. Существует единственная траектория $L_0$, $\alpha $-предельная к $z^0 $  — выходящая сепаратриса точки $z^0 $. Предполагается, что она также $\omega $-предельна к $z^0$, причем входит в $z^0 $ по ведущему направлению узла поля $X_0^ + $. Для типичного семейства при изменении параметра $\varepsilon $ сшитый седло-узел либо распадается на грубые узел и седло, либо исчезает. В работе доказано, что в последнем случае из контура $L_0 \cup \{ z^0 \} $ рождается единственная периодическая траектория поля $X_\varepsilon$  — устойчивый предельный цикл.