О дифференциальных приближениях разностных схем

Понятие первого дифференциального приближения было введено в 1950-х годах для анализа разностных схем А. И. Жуковым и затем применялось для исследования качества разностных схем, возникающих при аппроксимации уравнений в частных производных. В настоящей работе первое дифференциальное приближение рассматривается как универсальная конструкция, позволяющая использовать методы компьютерной алгебры для исследования разностных схем, минуя прямое использование методов теории разностной алгебры. В первом разделе рассмотрено дифференциальное приближение для разностных схем, описывающих обыкновенные дифференциальные уравнения. Обсуждена связь между дифференциальным приближением, сингулярным возмущением исходной системы и понятием первого дифференциального приближения. Для этого простого случая показана связь между методом оценки ошибки аппроксимации решения, основанным на анализе первого дифференциального приближения, и методом Ричардсона – Калиткина. Во втором разделе обсуждаются дифференциальные приближения для разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные уравнения в частных производных. Понятие первого дифференциального приближения описано на языке степенной геометрии. Показано, что при аппроксимации совместной системы дифференциальных уравнений в частных производных не всегда получаются совместные разностные системы уравнений. В качестве способа проверки совместности системы разностных уравнений предлагается проверять совместность первого дифференциального приближения для разностной системы. С этих позиций обсуждается понятие полной совместности системы разностных уравнений. Приведено несколько примеров не вполне совместных систем. Для анализа совместности первого дифференциального приближения используется программное обеспечение, разработанное для исследования дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрены вопросы вычисления первого дифференциального приближения в системах компьютерной алгебры, Sage и SymPy.