Гармонический анализ почти периодических на бесконечности функций в банаховых модулях

В статье рассматриваются однородные пространства функций, заданных на локально компактной абелевой группе и со значениями в комплексном банаховом пространстве. К ним относится ряд известных пространств, таких как пространства измеримых по Лебегу суммируемых функций, существенно ограниченных функций, ограниченных непрерывных функций, непрерывных исчезающих на бесконечности функций, пространства Степанова и Гельдера. Важной особенностью таких пространств является наличие в них структуры банаховых модулей, задаваемой сверткой функций. Это позволяет использовать понятия и результаты теории банаховых модулей и изометричеcких представлений. Статья посвящена исследованию почти периодических на бесконечности функций из однородных пространств. За счет использования свойств почти периодических векторов в банаховых модулях изучены некоторые свойства медленно меняющихся и почти периодических на бесконечности функций. Вводятся два эквивалентных определения почти периодической на бесконечности функции, а также понятие ряда Фурье такой функции. Причем ряд Фурье для такой функции определяется неоднозначно, а именно коэффициенты Фурье задаются с точностью до исчезающей на бесконечности функции из соответствующего пространства. Получены критерии того, что функция из однородного пространства является медленно меняющейся или почти периодической на бесконечности. За счет использования свойств спектра Берлинга и понятий множества не почти периодичности вектора из банахова модуля получен критерий представимости почти периодической на бесконечности функции в виде суммы исчезающей на бесконечности и обычной почти периодической функций.