Двумерные предельные ряды по ультрасферическим полиномам Якоби и их аппроксимативные свойства

Пусть $C[-1,1]$ пространство непрерывных на отрезке $[-1,1]$ функций, $C[-1,1]^2$ — пространство функций, непрерывных на квадрате $[-1,1]^2$. Через $P_n^\alpha(x)$ обозначим ультрасферические полиномы Якоби. Ранее для функции $f$ из пространства $C[-1,1]$ были построены предельные ряды по системе полиномов $P_n^\alpha(x)$ и исследованы аппроксимативные свойства их частичных сумм. В частности, была получена оценка сверху для соответствующей функции Лебега. Кроме того, было показано, что частичные суммы предельного ряда, в отличие от сумм Фурье – Якоби, совпадают с исходной функцией в точках $\pm1$. В настоящей работе для функции $f(x,y)$ из пространства $C[-1,1]^2$ построены двумерные предельные ряды по системе ультрасферических полиномов Якоби $P_n^\alpha(x)P_m^\beta(y)$, ортогональной на квадрате $[-1,1]^2$ относительно веса типа Якоби. Показано, что частичная сумма двумерного предельного ряда совпадает с $f(x,y)$ на множестве $\{(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)\}$ и является проектором на подпространство алгебраических полиномов $P(x,y)$. Используя эти свойства, исследованы аппроксимативные свойства частичных сумм двумерного предельного ряда. В частности, исследовано поведение соответствующей двумерной функции Лебега.