О равномерной сходимости ряда Фурье по системе полиномов, порожденной системой полиномов Лагерра

Пусть $w(x)$ — лагерровская весовая функция, $1\le p<\infty$, $L^p_w$ — пространство функций $f$, $p$-я степень модуля которых интегрируема с весом $w(x)$ на неотрицательной оси. Для заданного натурального числа $r$ обозначим через $W^r_{L^p_w}$ пространство Соболева, которое состоит из $r-1$ раз непрерывно дифференцируемых функций $f$, для которых $(r-1)$-я производная абсолютно непрерывна на произвольном сегменте $[a,b]$ неотрицательной оси, а $r$-я производная принадлежит пространству $L^p_w$. В случае, когда $p=2$, введем в пространстве $W^r_{L^2_w}$ скалярное произведение типа Соболева, которое превращает его в гильбертово пространство. Далее, через $l_{r,n}^\alpha(x)$ ($n=r, r+1, \dots$) обозначим полиномы, порожденные классическими полиномами Лагерра. Эти полиномы вместе с функциями вида $l_{r,n}^\alpha(x)=\frac{x^n}{n!}$ ($n=0, 1, \dots, r-1$) образуют полную и ортонормированную систему в пространстве $W^r_{L^2_w}$. В настоящей статье рассматривается задача о равномерной сходимости на любом отрезке $[0,A]$ ряда Фурье по этой системе полиномов к функциям из пространства Соболева $W^r_{L^p_w}$. Ранее равномерная сходимость была установлена для $p=2$. В данной работе доказывается, что равномерная сходимость ряда Фурье имеет место при $p>2$ и отсутствует при $1\le p<2$. Доказательство равномерной сходимости ряда Фурье для случая $p>2$ основано на вложении пространств $W^r_{L^p_w}$, $p>2$, в $W^r_{L^2_w}$. Расходимость ряда Фурье при $1\le p<2$ установлена на примере функции $e^{cx}$ с помощью асимптотики полиномов Лагерра.