Гладкие аппроксимации в $C[0, 1]$

Первый ортонормированный базис в пространстве непрерывных функций был построен Хааром в 1909 г. Фабер в 1910 г. проинтегрировал систему Хаара и получил первый пример базиса в пространстве непрерывных функций, состоящего из непрерывных функций. Эту систему переоткрыл в 1927 г. Шаудер. Все функции Фабера – Шаудера являются кусочно-линейными, а частичные суммы есть вписанные ломаные. В дальнейшем предпринимались попытки построить гладкие аналоги базиса Фабера – Шаудера. В 1965 г. это удалось К. М. Шайдукову. Построенные им функции были гладкими, но состояли из дуг парабол. Шайдукову удалось доказать равномерную сходимость полученных разложений, но не удалось получить оценки отклонения. Иной аналог системы Фабера – Шаудера в 2007 г. предложили Т. У. Аубакиров и Н. А. Бокаев. Они построили класс функций, которые образуют базис в пространстве непрерывных функций, получили оценки отклонения частичных сумм от приближаемой функции. Построенные в их работе функции были, как и в системе Фабера – Шаудера, кусочно-линейными. Система Фабера – Шаудера входит в построенный ими класс систем. В настоящей статье мы строим гладкие аналоги системы Фабера – Шаудера и получаем оценки отклонения частичных сумм от приближаемой функции. Построенные системы являются системами сжатий и сдвигов одной функции, которую мы называем двоичным базисным сплайном. Каждый такой двоичный базисный сплайн есть интеграл $n$-го порядка от функции Уолша $W_{2^n-1}$. Таким образом, нам удалось построить аналоги системы Фабера – Шаудера со сколь угодно большой степенью гладкости и получить для разложений по этим системам оценки отклонения в терминах модулей непрерывности.