Новый метод исследования краевой задачи Гильберта с бесконечным индексом логарифмического порядка

Рассматривается задача об определении аналитической в ограниченной действительной осью верхней части комплексной плоскости по краевому условию на всей действительной оси, согласно которому реальная часть произведения заданной на действительной оси комплексной функции, называемой коэффициентом краевого условия, и граничных значений искомой аналитической функции на этой оси равна нулю всюду на действительной оси. Предполагается, что аргумент коэффициента краевого условия обращается в бесконечность, как та или иная степень логарифма модуля координаты точки оси при неограниченном удалении этой точки от начала отсчета в том или ином направлении. Выводится формула, определяющая аналитическую в верхней полуплоскости функцию, мнимая часть которой при стремлении координаты точки оси положительной полуоси к бесконечности является бесконечно большой того же порядка, что и аргумент коэффициента краевого условия. Далее выводится аналогичная аналитическая функция, мнимая часть которой обращается в бесконечность того же порядка, что и аргумент коэффициента краевого условия, когда точки отрицательной действительной оси удаляются в бесконечность. Использование указанных двух функций позволяет устранить бесконечный разрыв аргумента коэффициента краевого условия. На основе приемов, аналогичных применяемым Ф. Д. Гаховым, задача приводится к задаче с конечным индексом. Для решения последней задачи используется метод Ф. Д. Гахова. Найденное решение зависит от произвольной целой функции нулевого порядка, модуль которой подчинен дополнительному условию.