Asymptotics of solutions of some integral equations connected with differential systems with a singularity

В работе изучаются некоторые аспекты теории рассеяния для сингулярных систем дифференциальных уравнений $y'-x^{-1}Ay-q(x)y=\rho By$, $x>0$ со спектральным параметром $\rho$, где $A,B, q(x), x\in(0,\infty)$ — $n\times n$ матрицы, причем матрицы $A,B$ постоянны. Основным предметом исследования являются некоторые вольтерровские интегральные уравнения относительно тензорно-значных функций. Решения этих уравнений играют центральную роль в построении так называемых решений типа Вейля для исходной системы дифференциальных уравнений. Поскольку классические методы при наличии особенности оказываются неприменимыми, изучение рассматриваемых интегральных уравнений становится в этом случае ключевым этапом исследования аналитических и асимптотических свойств решений типа Вейля. В данной работе мы рассматриваем важный частный случай, когда матрица-функция $q(\cdot)$ является гладкой и $q(0)=0$. В этом случае для решений рассматриваемых интегральных уравнений удается получить асимптотические разложения при $\rho\to\infty$ с оценкой остаточного члена $o\left(\rho^{-1}\right)$. Полученный результат позволяет получить асимптотики для решений типа Вейля, играющие, в свою очередь, важную роль при исследовании обратной задачи рассеяния.