Value regions in classes of conformal mappings

Обзор преимущественно посвящен недавним результатам в решении задачи об областях значений в различных классах голоморфных однолистных функций, представимых решениями дифференциальных уравнений Левнера как в радиальной, так и в хордовой версиях. Важно также представить классические и современные методы решения и сравнить их эффективность. Наиболее подробно затронуты методы оптимизации и, в частности, принцип максимума Понтрягина. Областью значений является множество $\{f(z_0)\}$ всех возможных значений функционала $f\mapsto f(z_0)$, где $z_0$ — это фиксированная точка из верхней полуплоскости в хордовом случае или в единичном круге в радиальном случае, а $f$ пробегает класс конформных отображений. Решения дифференциальных уравнений Левнера образуют плотные подклассы рассматриваемых семейств функций. Области значений коэффициентов $\{(a_2,\dots,a_n):f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty}a_nz^n\}$, $|z|<1$, составляют часть поля исследований, тесно связанного с экстремальными задачами и с гипотезой Бомбиери о структуре области значений коэффициентов на классе $S$ в окрестности точки $(2,\dots,n)$, соответствующей функции Кебе.