Мартингальные неравенства в симметричных пространствах с полумультипликативным весом

Пусть $(\Omega,\Sigma,P)$ является полным вероятностным пространством, $\mathcal F=\{\mathcal F_n\}^\infty_{n=0}$ — возрастающая последовательность $\sigma$-алгебр, такая что $\cup^\infty_{n=0}\mathcal F_n$ порождает $\Sigma$. Если $f=\{f_n\}^\infty_{n=0}$ является мартингалом по отношению к $\mathcal F$ и $\mathbb E_n$ — условное (математическое) ожидание по отношению к $\mathcal F_n$, то можно ввести максимальную функцию $M(f)=\sup_{n\geq 0}|f_n|$ и квадратичную функцию $S(f)=\left(\sum\limits^\infty_{i=0}|f_i-f_{i-1}|^2\right)^{1/2}$, $f_{-1}=0$. В случае равномерно интегрируемых мартингалов существует $g\in L^1(\Omega)$, такая что $\mathbb E_n g=f_n$, и мы рассматриваем максимальную шарп-функцию $f^\sharp=\sup_{n\geq 0}\mathbb E_n|g-f_{n-1}|$. Результат Буркхольдера – Ганди – Дэвиса состоит в том, что $C_1\|M(f)\|_p\leq \|S(f)\|_p\leq C_2\|M(f)\|$ при $1<p<\infty$, где $\|\cdot\|_p$ — норма в $L^p(\Omega)$ и $C_2>C_1>0$. Мы называем неравенство типа $\|M(f)\|_p\leq C\|f^\sharp\|_p$, $1<p<\infty$, неравенством Феффермана – Стейна. Известно, что мартингальное неравенство Буркхольдера – Ганди – Дэвиса справедливо в перестановочно-инвариантных банаховых функциональных пространствах с нетривиальными индексами Бойда. Мы доказываем это неравенство в более широком классе симметрических пространств (это понятие определяется как в известной монографии С. Г. Крейна, Ю. И. Петунина и Е. М. Семенова) с полумультипликативным весом. Также в этом же классе симметричных пространств получены неравенства типа Феффермана – Стейна, использующие максимальную шарп-функцию и квадратичные шарп-функции.