Necessary and sufficient condition for an orthogonal scaling function on Vilenkin groups

Существуют несколько подходов к задаче построения ортогонального кратномасштабного анализа на группах Виленкина, но все они сводятся к поиску так называемой масштабирующей функции. В 2005 г. Ю. А. Фарков использовал так называемые «блокированные» множества, чтобы строить все возможные масштабирующие функции с компактным носителем и ограниченной частотной полосой для каждого набора неких параметров, его условия оказались необходимыми и достаточными. С. Ф. Лукомский, Ю. С. Крусс и Г. С. Бердников представили другой подход в 2014–2015 гг., который имеет некие преимущества перед другими и использует аппарат дискретной математики для достижения тех же целей. Результатом этого подхода является алгоритм построения ортогональных масштабирующих функций с ограниченной частотной полосой и компактным носителем в конкретном виде, используя некий класс ориентированных графов, которые, в свою очередь, строятся по так называемым $N$-валидным деревьям, введенным теми же авторами в 2012 г. До этого момента, однако, было неизвестно, достаточно ли этот алгоритм хорош, чтобы порождать любую из возможных ортогональных масштабирующих функций такого класса. Эта работа описывает вышеупомянутый алгоритм и доказывает, что его можно воспринимать как необходимое и достаточное условие, то есть он может порождать любую возможную ортогональную масштабирующую функцию. Дополнительно мы получим другое, более удобное описание интересующего нас класса ориентированных графов.