Approximation of continuous $2\pi$-periodic piecewise smooth functions by discrete Fourier sums

Пусть $N \geq 2$ — некоторое натуральное число. Выберем на вещественной оси $N$ равномерно расположенных точек $t_k=2\pi k / N + u$ $(0 \leq k \leq N-1)$. Обозначим через $L_{n,N}(f)=L_{n,N}(f,x)$ $(1\leq n\leq N/2)$ тригонометрический полином порядка $n$, обладающий наименьшим квадратичным отклонением от $f$ относительно системы $\{t_k\}_{k=0}^{N-1}$. Выберем $m+1$ точку $-\pi=a_{0}<a_{1}<\ldots<a_{m-1}<a_{m}=\pi$, где $m\geq 2$, и обозначим $\Omega=\left\{a_i\right\}_{i=0}^{m}$. Через $C_{\Omega}^{r}$ обозначим класс $2\pi$-периодических непрерывных функций $f$, $r$-раз дифференцируемых на каждом сегменте $\Delta_{i}=[a_{i},a_{i+1}]$, причем производная $f^{(r)}$ на каждом $\Delta_{i}$ абсолютно непрерывна. В данной работе рассмотрена задача приближения функций $f\in C_{\Omega}^{2}$ полиномами $L_{n,N}(f,x)$. Показано, что вместо оценки $\left|f(x)-L_{n,N}(f,x)\right| \leq c\ln n/n$, которая следует из известного неравенства Лебега, найдена точная по порядку оценка $\left|f(x)-L_{n,N}(f,x)\right| \leq c/n$ ($x \in \mathbb{R}$), которая равномерна относительно $n$ ($1 \leq n \leq N/2$). Кроме того, найдена локальная оценка $\left|f(x)-L_{n,N}(f,x)\right| \leq c(\varepsilon)/n^2$ ($\left|x - a_i\right| \geq \varepsilon$), которая также равномерна относительно $n$ ($1 \leq n \leq N/2$). Доказательства этих оценок основаны на сравнении дискретных и непрерывных конечных сумм ряда Фурье.