|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
Научный отдел
Математика
Approximation of continuous $2\pi$-periodic piecewise smooth functions by discrete Fourier sums
[Приближение непрерывных $2\pi$-периодических кусочно-гладких функций дискретными суммами Фурье]
G. G. Akniev Dagestan Scientific Center RAS, 45 M. Gadzhieva St., 367025 Makhachkala, Russia
Аннотация:
Пусть $N \geq 2$ — некоторое натуральное
число. Выберем на вещественной оси $N$ равномерно расположенных
точек $t_k=2\pi k / N + u$ $(0 \leq k \leq N-1)$. Обозначим через
$L_{n,N}(f)=L_{n,N}(f,x)$ $(1\leq n\leq N/2)$ тригонометрический
полином порядка $n$, обладающий наименьшим квадратичным
отклонением от $f$ относительно системы $\{t_k\}_{k=0}^{N-1}$.
Выберем $m+1$ точку $-\pi=a_{0}<a_{1}<\ldots<a_{m-1}<a_{m}=\pi$,
где $m\geq 2$, и обозначим $\Omega=\left\{a_i\right\}_{i=0}^{m}$.
Через $C_{\Omega}^{r}$ обозначим класс $2\pi$-периодических
непрерывных функций $f$, $r$-раз дифференцируемых на каждом
сегменте $\Delta_{i}=[a_{i},a_{i+1}]$, причем производная
$f^{(r)}$ на каждом $\Delta_{i}$ абсолютно непрерывна. В данной
работе рассмотрена задача приближения функций $f\in
C_{\Omega}^{2}$ полиномами $L_{n,N}(f,x)$. Показано, что вместо
оценки $\left|f(x)-L_{n,N}(f,x)\right| \leq c\ln n/n$, которая
следует из известного неравенства Лебега, найдена точная по
порядку оценка $\left|f(x)-L_{n,N}(f,x)\right| \leq c/n$ ($x \in
\mathbb{R}$), которая равномерна относительно $n$ ($1 \leq n \leq
N/2$). Кроме того, найдена локальная оценка
$\left|f(x)-L_{n,N}(f,x)\right| \leq c(\varepsilon)/n^2$ ($\left|x
- a_i\right| \geq \varepsilon$), которая также равномерна
относительно $n$ ($1 \leq n \leq N/2$). Доказательства этих оценок
основаны на сравнении дискретных и непрерывных конечных сумм ряда
Фурье.
Ключевые слова:
приближение функций, тригонометрические полиномы, ряд Фурье.
Поступила в редакцию: 22.05.2018 Принята в печать: 28.11.2018
Образец цитирования:
G. G. Akniev, “Approximation of continuous $2\pi$-periodic piecewise smooth functions by discrete Fourier sums”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика, 19:1 (2019), 4–15
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/isu785 https://www.mathnet.ru/rus/isu/v19/i1/p4
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 164 | PDF полного текста: | 45 | Список литературы: | 19 |
|