Некоторые свойства $0/1$-симплексов

Пусть $n\in {\mathbb N}$, $Q_n=[0,1]^n$. Для $n$-мерного невырожденного симплекса $S$ под $\sigma S$ понимается результат гомотетии $S$ относительно центра тяжести с коэффициентом гомотетии $\sigma$. Положим $\xi(S)=\min\{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\}$, $\xi_n=\min\{\xi(S): S\subset Q_n\}$. Через $P$ обозначим интерполяционный проектор, действующий из $C(Q_n)$ на пространство линейных функций от $n$ переменных, узлы которого совпадают с вершинами симплекса $S\subset Q_n$. Пусть $\|P\|$ — норма $P$ как оператора из $C(Q_n)$ в $C(Q_n)$, $\theta_n=\min \|P\|.$ Через $\xi^\prime_n$ и $\theta^\prime_n$ обозначаются величины, аналогичные $\xi_n$ и $\theta_n$, при дополнительном ограничении, что рассматриваемые симплексы являются $0/1$-многогранниками, т. е. их вершины совпадают с вершинами $Q_n$. В статье систематизируются общие оценки чисел $\xi^\prime_n$, $\theta^\prime_n$, а также приводятся их новые оценки и точные значения для конкретных $n$. Доказывается, что $\xi^\prime_n\asymp n$, $\theta^\prime_n\asymp \sqrt{n}$. Пусть одна из вершин $0/1$-симплекса $S^*$ есть произвольная вершина $v$ куба $Q_n$, а $n$ остальных являются смежными с противоположной к $v$ вершиной куба. Для $2\leq n\leq 5$ каждый симплекс, экстремальный в смысле $\xi^\prime_n$, совпадает с $S^*$. Минимальное $n$, при котором $\xi(S^*)>\xi^\prime_n$, равно $6$. Обозначим через $P^*$ интерполяционный проектор с узлами в вершинах $S^*$. Минимальное $n$, при котором $\|P^*\|>\theta^\prime_n$, равно $5$.