Критерий принадлежности классу $W^l_p$ обобщенного из класса $L_p$ решения волнового уравнения

В статье исследуется вопрос принадлежности обобщенного решения волнового уравнения различным функциональным пространствам. Рассмотрение классических решений накладывает существенные ограничения на исходные данные задачи. Но если исходить не из дифференциальных, а из интегральных уравнений, то класс решений, а значит, и класс исходных краевых задач, можно существенно расширить. Для решения краевой задачи для волнового уравнения, полученного методом учета волн, легко получить достаточное условие принадлежности тому или иному классу. Гораздо более тонкий вопрос представляет нахождение необходимого и достаточного условия. В статье устанавливается критерий принадлежности классу $W_p^l$ обобщенного из класса $L_p$ решения волнового уравнения. Критерий связывает между собой условие на граничную функцию $\mu(t)$ и условие на решение задачи $u_{tt}(x,t) - u_{xx}(x,t) = 0$. Таким образом, данный критерий может быть применим к оценкам задач управления, в частности по финальному условию задачи можно установить принадлежность функции управления. Данный критерий также применим к оценкам задач наблюдения для волнового уравнения, когда по свойствам граничной функции можно предугадывать свойства решения. Эта статья состоит из постановки задачи, рассмотрения раннее полученных результатов, формулировки и доказательства основной теоремы. Доказательство основной теоремы существенно опирается на представление решения указанной задачи в явном аналитическом виде. Этот результат обобщает ранее полученный критерий принадлежности для $W_p^1$. Стоит отметить, что хотя доказательство критерия для класса $W_p^l$ структурно повторяет доказательство для класса $W_p^1$, оно существенно осложнено более тонкими оценками норм функций, входящих в решение задачи.