Классификация продолженных би-метрических структур на распределениях ненулевой кривизны субримановых многообразий

Вводится понятие внутренней геометрии субриманова многообразия $M$, под которой понимается совокупность тех свойств многообразия, которые зависят только от оснащения $D^{\bot}$ распределения $D$ субриманова многообразия, а также от параллельного перенесения векторов, принадлежащих распределению $D$, вдоль кривых, касающихся этого распределения. Инвариантами внутренней геометрии субриманова многообразия $M$ являются: тензор кривизны Схоутена; 1-форма $\eta $, порождающая распределение $D$; производная Ли $L_{\vec{\xi}}g$ метрического тензора $g$ вдоль векторного поля $\vec{\xi}$; тензорное поле $P$, компоненты которого в адаптированных координатах выражаются с помощью равенств ${{P^c_{ad}=\partial}_n\Gamma}^c_{ad}$. В зависимости от свойств перечисленных выше инвариантов выделяются 12 классов субримановых многообразий. С помощью внутренней связности, заданной на субримановом многообразии $M$, на распределении $D$ многообразия $M$ определяется почти контактная структура с би-метрикой, названная в работе продолженной структурой. Проводится сравнительный анализ двух классификаций продолженных структур. В соответствии с первой классификацией выделяется 12 классов продолженных структур, соответствующих 12 классам исходных субримановых многообразий. Вторая классификация основана на свойствах фундаментального, ассоциированного с би-метрической структурой, тензора $F$ типа $(0,3)$. В соответствии со второй классификацией существуют $2^{11}$ классов би-метрических структур, среди которых 11 базисных классов $F_i$, $i=1,\dots ,11$. В статье рассматривается случай субриманова многообразия с ненулевым тензором кривизны Схоутена и равной нулю производной Ли $L_{\vec{\xi}}g$. Доказывается, что продолженные почти контактные би-метрические структуры, соответствующие субримановым структурам, с равным нулю инвариантом $\omega =d\eta $ принадлежат классу $F_1\oplus F_2\oplus F_3$, а с отличным от нуля инвариантом $\omega =d\eta $ \textrm{—} классу $F_1\oplus F_2\oplus F_3\oplus F_7\oplus \dots \oplus F_{10}$.