Полиномы, ортогональные по Соболеву, порожденные полиномами Шарлье

Рассмотрена задача о конструировании полиномов $s_{r,n}^\alpha(x)$, порожденных полиномами Шарлье $s_n^\alpha(x)$ и ортонормированных относительно скалярного произведения типа Соболева вида $ \langle f,g \rangle = \sum\limits_{k=0}^{r-1} \Delta^k f(0) \Delta^k g(0) + \sum\limits_{j=0}^\infty \Delta^r f(j) \Delta^r g(j) \rho(j) $, где $ \rho(x)=\alpha^x e^{-\alpha}/\Gamma(x+1)$. Показано, что система полиномов $s_{r,n}^\alpha(x)$, порожденная полиномами Шарлье, полна в гильбертовом пространстве $W^r_{l_\rho}$, состоящем из дискретных функций, заданных на сетке $\Omega=\{0,1,\ldots\}$, в котором введено скалярное произведение $\langle f,g \rangle$. Найдена явная формула вида $ s_{r,k+r}^{\alpha}(x) = \sum\limits_{l=0}^{k} b_l^r x^{[l+r]} $, в которой $x^{[m]} = x(x-1)\ldots(x-m+1)$. Установлена связь полиномов $s_{r,n}^\alpha(x)$ с порождающими их ортонормированными классическими полиномами Шарлье $s_n^\alpha(x)$ вида $ s_{r,k+r}^{\alpha}(x)= U_k^r \left[s_{k+r}^{\alpha}(x) - \sum\limits_{\nu=0}^{r-1} V_{k,\nu}^r x^{[\nu]}\right]$, в которой для чисел $U_k^r$, $V_{k,\nu}^r$ найдены явные выражения.