Устойчивость периодических бильярдных траекторий в треугольнике

Рассматривается проблема устойчивости периодических бильярдных траекторий в треугольниках. Под устойчивостью понимается сохранение периода и качественной структуры траектории (её комбинаторного типа) при достаточно малых изменениях треугольника. Для описания устойчивых траекторий вводятся различные виды развёрток: геометрические, алгебраические, веерные. На основе введённых развёрток предложен новый метод веерного кодирования, упрощающий исследование устойчивости периодических траекторий. Для классификации траекторий введены понятия эквивалентности кодов и комбинаторного типа траектории. Дано строгое определение устойчивой периодической траектории в треугольнике. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости веерного кода (теорема 1). С целью упрощения систематизации устойчивых периодических траекторий введено понятие «паттерн», позволяющее генерировать устойчивые коды (теорема 2). Предложен конструктивный метод построения устойчивых периодических траекторий (теорема 3). Приведены примеры применения введённых понятий к периодическим бильярдным траекториям, в частности в тупоугольном треугольнике. Предложенный аппарат применим как к остроугольным, так и тупоугольным треугольникам, что открывает возможность его использования для решения проблемы существования периодической бильярдной траектории в произвольном тупоугольном треугольнике. Введено новое понятие условной устойчивости периодической бильярдной траектории при специальном изменении треугольника.