Рекуррентные соотношения для полиномов, ортонормированных по Соболеву, порожденных полиномами Лагерра

В настоящей работе рассматривается система полиномов $l_{r,n}^{\alpha}(x)$ ($r$ — натуральное число, $n=0, 1, \ldots$), ортонормированная относительно скалярного произведения типа Соболева (полиномы, ортонормированные по Соболеву) следующего вида: $\langle f,g\rangle=\sum_{\nu=0}^{r-1}f^{(\nu)}(0)g^{(\nu)}(0)+\int_{0}^{\infty} f^{(r)}(x)g^{(r)}(x)\rho(x)\,dx$ и порожденная классическими ортонормированными полиномами Лагерра. Для системы полиномов $l_{r,n}^{\alpha}(x)$, ортонормирванной по Соболеву, получены рекуррентные соотношения, которые могут быть использованы для изучения различных свойств этих полиномов и вычисления их значений при любых $x$ и $n$. Кроме того, рассматривается система функций Лагерра $\mu_{n}^{\alpha}(x)=\sqrt{\rho(x)}l_{n}^{\alpha}(x)$, которая порождает систему функций $\mu_{r,n}^{\alpha}(x)$, ортонормированную относительно скалярного произведения следующего вида $\langle \mu_{r,n}^\alpha,\mu_{r,k}^\alpha\rangle= \sum_{\nu=0}^{r-1}(\mu_{r,n}^\alpha(x))^{(\nu)}|_{x=0} (\mu_{r,k}^\alpha(x))^{(\nu)}|_{x=0}+ \int_{0}^{\infty} (\mu_{r,n}^\alpha(x))^{(r)}(\mu_{r,k}^\alpha(x))^{(r)}\,dx.$ Для порожденной системы функций $\mu_{r,n}^{\alpha}(x)$ также получены рекуррентные соотношения при $\alpha=0$.