Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье для некоторых кусочно-линейных функций

Для заданного натурального числа $N \geq 2$ на отрезке $[0, 2\pi]$ выбрано $N$ равноотстоящих узлов $t_k = 2\pi k / N$ $(0 \leq k \leq N - 1)$. Для каждого натурального числа $n$, удовлетворяющего неравенству $1\leq n\leq\lfloor N/2\rfloor$, обозначим через $L_{n,N}(f)=L_{n,N}(f,x)$ тригонометрический полином порядка $n$ наименьшего квадратического отклонения от функции $f$ в точках $t_k$, который доставляет минимум сумме $\sum_{k=0}^{N-1}|f(t_k)-T_n(t_k)|^2$ среди всех тригонометрических полиномов $T_n$ порядка $n$. Рассмотрена задача о приближении кусочно-линейных периодических функций полиномами $L_{n,N}(f,x)$. На конкретных примерах показано, что полиномы $L_{n,N}(f,x)$ приближают кусочно-линейную непрерывную периодическую функцию со скоростью $O(1/n)$ равномерно относительно $x \in \mathbb{R}$ и $1 \leq n \leq N/2$, а также приближают такую функцию $f(x)$ со скоростью $O(1/n^2)$ вне сколь угодно малых окрестностей, содержащих точки «излома» рассматриваемой ломаной $f(x)$. Кроме того, на примерах показано, что полиномы $L_{n,N}(f,x)$ приближают кусочно-линейную разрывную функцию со скоростью $O(1/n)$ вне сколь угодно малых окрестностей, содержащих точки разрыва $f(x)$. Особое внимание уделено приближению полиномами $L_{n,N}(f,x)$ $2\pi$-периодических функций $f_1$ и $f_2$, которые на отрезке $[-\pi, \pi]$ совпадают с функциями $|x|$ и $\mathrm{sign}\, x$ соответственно. Для первой из этих функций показано, что вместо оценки $\left|f_{1}(x)-L_{n,N}(f_{1},x)\right| \leq c\ln n/n$, вытекающей из известного неравенства Лебега для полиномов $L_{n,N}(f,x)$, установлена точная по порядку оценка $\left|f_{1}(x)-L_{n,N}(f_{1},x)\right| \leq c/n$ ($x \in \mathbb{R}$), которая имеет место равномерно относительно $1 \leq n \leq \lfloor N/2\rfloor$. Кроме того, получена локальная оценка $\left|f_{1}(x)-L_{n,N}(f_{1},x)\right| \leq c(\varepsilon)/n^2$ ($\left|x - \pi k\right| \geq \varepsilon$), которая также имеет место равномерно относительно $1 \leq n \leq \lfloor N/2\rfloor$. Что касается второй из указанных функций $f_2(x)$, то для нее равномерно относительно $1 \leq n \leq \lfloor N/2\rfloor$ получена оценка $\left|f_{2}(x)-L_{n,N}(f_{2},x)\right| \leq c(\varepsilon)/n$ ($\left|x - \pi k\right| \geq \varepsilon$). Доказательства полученых оценок базируются на сравнении аппроксимативных свойств дискретных и непрерывных тригонометрических сумм Фурье.