О геометрических свойствах непрерывных отображений, сохраняющих ориентацию симплексов

Несложно показать, что если непрерывное и открытое отображение сохраняет ориентацию всех симплексов, то оно является аффинным. В статье рассматривается класс непрерывных, открытых отображений $f:D\subset\mathbb R^m\to\mathbb R^n$, сохраняющих ориентацию симплексов из заданного подмножества множества симплексов с вершинами в области $D\subset\mathbb R^m$. В работе исследуются вопросы геометрического строения линейных прообразов таких отображений. В основу данного исследования положено доказываемое в статье ключевое свойство: если отображение сохраняет ориентацию симплексов из некоторого подмножества $B$ множества всех симплексов с вершинами в области $D$, то прообраз гиперплоскости при таком отображении не может содержать вершины симплекса из $B$. На основе анализа структуры множества, обладающего таким свойством, можно получить результаты о его геометрическом строении. В частности, в статье доказано, что если непрерывное и открытое отображение сохраняет ориентацию достаточно широкого класса симплексов, то оно является аффинным. Для некоторых специальных классов треугольников в $\mathbb R^2$ с заданным условием на его максимальный угол показано, что прообраз прямой локально является графиком (в некотором случае липшицевой) функции в подходящей декартовой системе координат.