Линейные разностные уравнения второго порядка в банаховом пространстве и расщепление операторов

В классических учебниках по дифференциальным и разностным уравнениям описан прием сведения дифференциальных и разностных уравнений $n$-го порядка стандартной заменой к системе дифференциальных и соответственно разностных уравнений первого порядка. Каждое из этих уравнений можно записать в операторном виде. Естественным образом возникает вопрос о совпадении ряда свойств дифференциальных и разностных уравнений (операторов) второго порядка и соответствующих операторных уравнений (операторов) первого порядка. В статье рассматривается линейное разностное уравнение второго порядка в комплексном банаховом пространстве с ограниченными операторными коэффициентами. В первой теореме установлена одновременная обратимость разностного оператора второго порядка и соответствующего разностного оператора первого порядка, приведена формула для обратного оператора. Все дальнейшие исследования проводятся в условиях наличия разделённых корней соответствующего «алгебраического» операторного уравнения. В этих условиях в теореме 2 установлено подобие операторной матрицы второго порядка блочно-диагональной операторной матрице. При условии разделённости пары операторных корней в теореме 3 получено необходимое и достаточное условие обратимости разностных операторов второго и первого порядка. В теореме 4 получено представление (формулы) обратных операторов к рассматриваемым. В теоремах 5 и 6 для ограниченных решений на множестве целых неотрицательных чисел получено асимптотическое представление этих решений с помощью операторнозначных функций, которое можно назвать разложением на бесконечности.