О внутренней оценке выпуклого тела лебеговым множеством выпуклой дифференцируемой функции

Рассматривается конечномерная задача о вложении наибольшего по включению нижнего Лебегова множества выпуклой функции $f(x)$ в заданное выпуклое тело $D \subset {\mathbb{R}^p}$. Эта задача является обобщением задачи о вписанном шаре (случай, когда функция является некоторой нормой, а ее лебеговы множества — шары). Функция $f(x)$ должна быть дифференцируемой всюду на ${\mathbb{R}^p}$, за исключением, возможно, точки $0_p$, и иметь ее в качестве единственной точки минимума. Математическая формализация этой задачи предложена в форме отыскания максимина от функции разности аргументов. Доказано, что целевая функция данной максиминной задачи является липшицевой на ${\mathbb{R}^p}$ и квазивогнутой на множестве $D$. Кроме того, установлено, что целевая функция супердифференцируема (в смысле определения Демьянова–Рубинова) на внутренности тела $D$ и получена соответствующая формула супердифференциала. На основе этой формулы супердифференциала получены необходимое и достаточное условие решения задачи и условие единственности решения.