Ряды Фурье по полиномам Мейкснера, ортогональным по Соболеву

В настоящей статье рассматривается система дискретных функций $\left\{\varphi_{r,k}(x)\right\}_{k=0}^\infty,$ которая является ортонормированной относительно скалярного произведения типа Соболева следующего вида:
\begin{equation*} \langle f,g \rangle=\sum_{\nu=0}^{r-1}\Delta^{\nu} f(-r)\Delta^{\nu} g(-r) + \sum_{t\in\Omega_r}\Delta^r f(t) \Delta^r g(t)\mu(t), \end{equation*}
где $\mu(t)=q^t(1-q),\ \Omega_r=\{-r,-r+1,\ldots,0,1,\ldots\}, \ 0<q<1.$ Показано, что сдвинутые классические полиномы Мейкснера $\left\{M_k^{-r}(x+r)\right\}_{k=r}^\infty$ вместе с функциями вида $\left\{\frac{(x+r)^{[k]}}{k!}\right\}_{k=0}^{r-1}$ образуют полную ортогональную систему в пространстве $l_{2,\mu}(\Omega_r),$ в котором введено указанное скалярное произведение $\langle f,g \rangle.$ Установлено, что ряд Фурье по полиномам Мейкснера $\left\{a_kM_k^{-r}(x+r)\right\}_{k=r}^\infty$ ($a_k$ — нормирующие множители), ортонормированным в смысле Соболева, является частным случаем смешанных рядов по полиномам Мейкснера. Кроме того, введен новый специальный ряд по ортогональным полиномам Мейкснера $M_k^\alpha(x)$ с $\alpha > - 1$, который в случае $\alpha = r$ совпадает с соответсвующим смешанным рядом по полиномам Мейкснера $M_k^0(x)$ и рядом Фурье по системе полиномов Мейкснера $\left\{a_kM_k^{-r}(x+r)\right\}_{k=r}^\infty$, ортонормированным в смысле Соболева.