Диски Зигеля и бассейны притяжения семейств аналитических функций

Пусть $\mathcal{U}\ni 0$ — гиперболическая область, $\alpha\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, $\Delta$ — угол Штольца в точке $\lambda_0=e^{2\pi \alpha}$ для единичного круга $\mathcal{D}$, и $\mathcal{W}$ — область, содержащая точку $\lambda_0$. Пусть $f: \mathcal{W}\times \mathcal{U}\to\mathbb{C}$; $(\lambda,z)\mapsto f_\lambda(z)$ — аналитическое семейство функций $f_\lambda$, аналитических в области $\mathcal{U}$ и имеющих при достаточно малых $z$ разложение $f_\lambda(z)=\lambda z+a_2(\lambda)z^2+\dots$, $\lambda\in \mathcal{W}$, и пусть $\mathcal{A}^*(0,f_\lambda,\mathcal{U})$ — максимальная из областей $\mathcal{A}\subset\mathcal{U}$ таких, что $0\in \mathcal{A}$ и $f_\lambda(\mathcal{A})\subset \mathcal{A}$, или множество $\{0\}$, если таких областей не существует. Показано, что если последовательность $\{\lambda_n\in \mathcal{W}\cap\Delta\}_{n\in \mathbb{N}}$ сходится к $\lambda_0$ и $\mathcal{S}=\mathcal{A}^*(0,f_{\lambda_n},\mathcal{U})\ne\{0\}$, то последовательность областей $\mathcal{A}^*(0,f_{\lambda_n},\mathcal{U})$ сходится к $\mathcal{S}$ как к ядру. Рассмотрен пример, показывающий, что аналогичное утверждение для сходимости по метрике Хаусдорфа неверно. В случае $\mathcal{S}\subset \mathcal{U}$ получена асимптотическая оценка размера окрестности $\mathcal{V}=\mathcal{V}(K)$ точки $\lambda_0$ такой, что заданный компакт $K\subset \mathcal{S}$ лежит в $\mathcal{A}^*(0, f_\lambda, \mathcal{U})$ для всех $\lambda\in \mathcal{V}\cap\Delta$.