Полиномы, ортогональные по Соболеву, порожденные многочленами Мейкснера

Рассмотрена задача о конструировании полиномов $m _{r,n}^{\alpha}(x,q)$, $(n=0,1,\ldots)$, ортогональных по Соболеву и порожденных классическими полиномами Мейкснера. Эти полиномы могут быть определены с помощью следующих равенств $m_{r,k}^{\alpha}(x,q)={x^{[k]}\over k!}$, $x^{[k]}=x(x-1)\cdots(x-k+1)$, $k=0,1,\ldots,r-1$, $m_{r,k+r}^{\alpha}(x,q)=\frac{1}{(r-1)!}\sum\limits_{t=0}^{x-r}(x-1-t)^{[r-1]}m_{k}^{\alpha}(t,q)$, где через $m_{k}^{\alpha}(t,q)$ обозначены полиномы Мейкснера, ортонормированные на сетке $\Omega=\{0,1,\ldots\}$ с весом $\rho(x)=q^x\frac{\Gamma(x+\alpha+1)}{\Gamma(x+1)}(1-q)^{\alpha+1}$. Полиномы $m _{r,n}^{\alpha}(x,q)$ $(n=0,1,\ldots)$ образуют ортонормированную систему на $\Omega=\{0,1,\ldots\}$ относительно скалярного произведения типа Соболева следующего вида:
$$ \langle m_{r,n}^{\alpha},m_{r,m}^{\alpha}\rangle= \sum\limits_{k=0}^{r-1}\Delta^km_{r,n}^{\alpha}(0,q)\Delta^km_{r,m}^{\alpha}(0,q)+ \sum\limits_{j=0}^{\infty}\Delta^rm_{r,n}^{\alpha}(j,q)\Delta^r m_{r,m}^{\alpha}(j,q)\rho(j). $$
Для $m_{r,n}^{\alpha}(x,q)$ мы получили явную формулу, содержащую полиномы Мейкснера $M_{n}^{\alpha-r}(x,q)$:
$$ m_{r,k+r}^{\alpha}(x,q)=\big(\frac{q}{q-1}\big)^r\left\{h_{k}^{\alpha}(q)\right\}^{-1/2} \left[M_{k+r}^{\alpha-r}(x,q)-\sum\limits_{\nu=0}^{r-1}\frac{A_{r,k,\nu}x^{[\nu]}}{\nu!}\right],\quad k=0,1,\ldots, $$
где $A_{r,k,\nu}=\Big({q-1\over q}\Big)^\nu \frac{\Gamma(k+\alpha+1)}{(k+r-\nu)!\Gamma(\nu-r+\alpha+1)}$, $M_n^\alpha(x,q)=\frac{\Gamma (n+\alpha+1)}{n!} \sum_{k=0}^n{n^{[k]}x^{[k]}\over \Gamma (k+\alpha+1)k!}\left(1-{1\over q}\right)^k$, $h_n^\alpha(q)= {n+\alpha\choose n}q^{-n}\Gamma(\alpha+1)$.