О квазимногочленах Капелли

В данной работе рассматривается класс многочленов типа Капелли в свободной ассоциативной алгебре $F\{Z\}$, где $F$ — произвольное поле, $Z$ — счетное множество. Интерес к этим объектам связан с предположением о том, что введенные многочлены (квазимногочлены Капелли) некоторой нечетной степени будут содержаться в базисе идеала $Z_2$-градуированных тождеств $Z_2$-градуированной матричной алгебры $M^{(m,k)}(F)$, когда $\mathrm{char}\,F=0$. В связи с этим в статье приведены основные свойства квазимногочленов Капелли. В частности, указаны разложения этих многочленов через многочлены того же вида и установлены некоторые соотношения между их $T$-идеалами. Кроме того, опираясь на некоторые полученные свойства квазимногочленов Капелли, а также на теорему Ченга, мы показываем, что все квазимногочлены Капелли четной степени $2n$ $(n>1)$ являются следствием стандартного многочлена $S_n^-$ в случае, когда характеристика поля $F$ не равна двум. Наконец, мы находим наименьшее $n\in N$, при котором каждый из квазимногочленов Капелли четной степени $2n$ принадлежит идеалу тождеств матричной алгебры $M_m(F)$.