Приближение функций ограниченной $p$-вариации средними Эйлера

В настоящей статье мы изучаем средние Эйлера:
$$e^q_n(f)(x)=\sum^n_{k=0}\binom{n}{k}q^{n-k}(1+q)^{-n}S_k(f)(x), \qquad q\geq 0, \qquad n\in\mathbb Z_+,$$
где $S_k(f)$ есть $k$-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье. Для $p$-абсолютно непрерывных функций ($f\in C_p$, $1<p<\infty$) мы рассматриваем их приближения средними Эйлера в равномерной и $C_p$-метрике в терминах модулей непрерывности $\omega_k(f)_{C_p}$, $k\in\mathbb N$, и наилучших приближений тригонометрическими полиномами $E_n(f)_{C_p}$. Можно отметить следующее неравенство разных метрик из теоремы 2:
$$\|f-e^q_n(f)\|_\infty\leq C_1(1+q)^{-n} \sum_{j=0}^n\binom{n}{j}q^{n-j}E_j(f)_{C_p}, \quad n\in\mathbb N, $$
которое является точным. Доказано также следующее обобщение результата Ч. Чуи и А. Холланда.
Если $\omega$ является модулем непрерывности на $[0,\pi]$, таким что $\delta\int^\pi_\delta t^{-2}\omega(t)\,dt=O(\omega(\delta))$, $1<p<\infty$ и $f\in C_p$ удовлетворяет двум свойствам: 1) $\omega_2(f,t)_{C_p}\leq C\omega(t)$; 2) $\int_{2\pi/(n+1)}^\pi t^{-1}\|\varphi_x(t)- \varphi_x(t+2\pi/(n+1))\|_{C_p}\,dt=O(\omega(1/n))$, где $\varphi_x(t)=f(x+t)+f(x-t)-2f(x)$, то $\|e^1_n(f)-f\|_{C_p}\leq C\omega(1/n)$, $n\in\mathbb N$. Даны также некоторые приложения к приближениям в метриках типа Гёльдера.