Характеризация орграфов с малым числом дополнительных дуг минимального вершинного $1$-расширения

Граф $G^*$ называется вершинным $1$-расширением графа $G$, если граф $G$ можно вложить в каждый граф, получающийся из графа $G^*$ удалением любой его вершины вместе с инцидентными ребрами. Вершинное $1$-расширение $G^*$ графа $G$ называется минимальным, если граф $G^*$ имеет на одну вершину больше, чем граф $G$, а среди всех вершинных $1$-расширений графа $G$ с тем же числом вершин граф $G^*$ имеет минимальное число ребер. Рассматривается задача описания ориентированных графов, минимальное вершинное $1$-расширение которых имеет заданное число дополнительных дуг. Дается решение, когда число дополнительных дуг равно одному или двум.