Приближение гладких функций в $L^{p(x)}_{2\pi}$ средними Валле-Пуссена

Рассматривается пространство Лебега $L^{p(x)}_{2\pi}$ с переменным показателем $p(x)$, состоящее из измеримых функций $f(x)$, для которых существует интеграл $\int\limits_0^{2\pi}|f(x)|^{p(x)}\,dx$. Для $f\in L^{p(x)}_{2\pi}$ cредние Валле–Пуссена $V_m^n(f,x)$ определим так $V_m^n(f,x)=\frac{1}{m+1}\sum\limits_{l=0}^mS_{n+l}(f,x),$ где $S_{k}(f,x)$ — частичная сумма Фурье функции $f(x)$ порядка $k$. Исследованы аппроксимативные свойства операторов $V_m^n(f)=V_m^n(f,x)$ в метрике пространства $L^{p(x)}_{2\pi}$. В случае, когда $2\pi$-периодический переменный показатель $p(x)\ge1$ удовлетворяет условию Дини–Липшица, доказано, что при $m=n-1$ и $m=n$ имеет место оценка $\|f-V_m^n(f)\|_{p(\cdot)}\le \frac{c_r(p)}{n^r}E_n(f^{(r)})_{p(\cdot)}$ где $E_n(f^{(r)})_{p(\cdot)}$ — наилучшее приближение функции $f^{(r)}(x)$ тригонометрическими полиномами порядка $n$ в метрике пространства $L^{p(x)}_{2\pi}$.