О распределении чисел с двоичным разложением специального вида в арифметических прогрессиях

Пусть $p$ – простое число, такое, что 2 является первообразным корнем по модулю $p$. Пусть $N_0$ – множество натуральных чисел, двоичное разложение которых содержит четное число 1. Для числа чисел из множества $N_0$, лежащих в арифметической прогрессии с разностью $p$ и не превосходящих $X$, получена асимптотическая формула:
$$ \sum_{\substack{n\le X\\ n\equiv a(\operatorname{mod}p)\\ n\in N_0}}1=\frac X{2p}+O(X^\eta),\quad\text {где}\, \eta=\frac{\log_2p}{p-1}. $$