Дифференциальные свойства функций $f \in V_{p, \theta}^{<m+\alpha ; N>}(G ; s)$

Первое интегральное представление функций многих переменных, определенных в областях (звездных, относительно точкам некоторого шара) $G \subset E_{n}$ принадлежит академику С.Л. Соболеву. С.Л. Соболевым разработан метод интегральных представлений функций из построенных им же известных функциональных пространств $W_{p}^{r}(G)$ и доказаны основные теоремы вложения этих пространств, с дальнейшими приложениями в теорию дифференциальных уравнений в частных производных. Дальнейшее развитие метода интегральных представлений теории пространств дифференцируемых функций многих переменных связано с именем В.П. Ильина. Он доказал принципиально новое интегральное представление функций многих переменных в любой точке $x \in E_{n}$. В работе исследуются «весовые» пространства функций $f=f(x)$, точек $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{s}\right) \in E_{n}(1 \leq s \leq n)$ многих пачек переменных $x_{k}=\left(x_{k, 1}, \ldots, x_{k, n_{k}}\right) \in E_{n_{k}} \quad(k=1,2, \ldots, s)$, определенных в области $G \subset E_{n}=E_{n_{1}} \times \cdots \times E_{n_{s}}\left(n=n_{1}+\cdots+n_{s}\right)$, удовлетворяющих условию «меняющейся $\Psi(x, h)$ -полурога». Эти построенные «весовые» пространства типа обобщенных $B$ -пространств зависит от параметра $s\left(1 \leq s \leq n=n_{1}+\cdots+n_{s}\right)$, которые в случае $s=1$ обобщают известных «весовых» пространств $B_{p}^{r_{1}, \ldots, r_{n}}\left(G, \rho^{\alpha}\right)$ -О.В.Бесова, а в случае $s=n$, обобщают известных пространств $S_{p, 0}^{r} B\left(G, \rho^{\alpha}\right)$ функций с доминирующей смещенной производной, в случае степенных «весов» приведенных в работах А.Дж.Джабраилова. А.Д.Джабраиловым доказаны новые интегральные представления функций многих переменных, с помощью которых ему удалось построить общую теорию пространств функций, с доминирующей смешанной производной $S_{p}^{r} W(G)$ и $S_{p, \theta}^{r} B(G)$, с дальнейшей разработкой метода интегральных представлений в теории теоремы вложения этих пространств. Строится новое функциональное пространство и методом интегральных представлений [1], на основе нового интегрального представления гладких функций в точках $x \in E_{n}$.