Спаривание полиномов Лежандра с ядрами $|x-y|^\alpha$ и $\ln|x-y|$

Вычислены в замкнутом виде двойные интегралы по отрезку $[-1,1]$, представляющие матричные элементы степенного $|x-y|^\alpha$ и логарифмического $\ln|x-y|$ потенциалов в базисе полиномов Лежандра. Даны несколько доказательств, использующие различные специальные функции и тождества. В частности, показана связь новых формул с формулой Уиппла из теории гипергеометрических рядов.