О статистике дробных долей чисел $j$ alpha

Пусть $\alpha$ – иррациональное число. При $n \in \mathbb N$ рассматриваются множества точек $\alpha_ j -j\alpha\, (\operatorname{mod}1)- \beta_{k(j)}$, $j-0,\dots ,n$. Точки $\beta_k$ разбивают отрезок $[0,1]$ на $n+1$ отрезков $[\beta_k,\beta_{k+1}]$ длиной $\delta_k-\beta_{k+1} -\beta_k$. В работе с помощью аппарата цепных дробей исследуется связь хронологического индекса $j$ и порядкового индекса $k(j)-k(j,n)$ чисел $\alpha_j - \beta_{k(j)}$, для чего вводятся графы левых и правых предшественников точки $\alpha_j$. Вычислены статистики длин $\delta_k-\delta_k(n+1)$, которые сравниваются со статистиками распределения длин интервалов, на которые отрезок $[0,1]$ делят точки $(n+1)$-кратной реализации равномерно распределенной случайной величины. Средние значения сравниваемых статистик совпадают, а отношения дисперсий при больших $n$ может быть сколь велико, так же как и сколь угодно мало.