Контроль точности при численном интегрировании жестких систем

Ранее для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений было предложено а) использовать в качестве аргумента длину дуги интегральной кривой и б) выбирать оптимальный шаг интегрирования пропорционально $\kappa^{-2/5}$, где $\kappa$ — кривизна интегральной кривой. В данной работе построена тестовая задача, в которой точное решение представлялось через элементарные функции как аргумента времени $t$, так и аргумента дуги $l$. Это позволило провести количественное сравнение различных разностных схем. Показано, что при расчетах с оптимальным шагом удается использовать даже явные схемы Рунге-Кутты. При этом схема первого порядка давала невысокую точность, но очень высокую надежность даже при огромной жесткости. С повышением порядка точности надежность схем ухудшалась.
Предложена смешанная стратегия. На первом этапе по надежной схеме первого порядка строится оптимальная сетка, адаптированная к решению. На втором этапе эта сетка сгущается по правилу дробления квазиравномерных сеток, а расчет выполняется по схеме четвертого порядка точности. Смешанная стратегия дает одновременно хорошую надежность и высокую точность расчета.