Функции Ферми–Дирака. Прямое вычисление функций

В данной работе изложены методы прямого вычисления функций Ферми–Дирака с заданной точностью. Для функций целого индекса эта задача решается с помощью сведения функций положительного аргумента к функциям отрицательного аргумента. Для функций полуцелого индекса значения аргумента разбиваются на три области: отрицательный аргумент, где используется быстросходящийся ряд; большие положительные аргументы, где применимо асимптотическое разложение; промежуточная область, где используется прямое численное интегрирование. В последнем случае для интегрирования построены формулы с экспоненциальной, то есть очень быстрой сходимостью. Исследованы свойства таких квадратурных формул. Для вычисления интегральной функции Ферми–Дирака найден нетривиальный подход: задача записывается в виде тройного интеграла, в котором одно интегрирование выполняется аналитически, а оставшийся двойной интеграл вычисляется квадратурами с экспоненциальной сходимостью. Предложенные методы позволяют экономично вычислять функции Ферми–Дирака с относительной погрешностью 10$^{-16}$ при любых значениях аргумента.