Complicated and exotic expansions of solutions to the Painlevé equations

Рассматриваются сложные и экзотические асимптотические разложения решений полиномиального обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). Это такие ряды по целым степеням независимой переменной, коэффициенты которых суть ряды Лорана либо от логарифма этой переменной или от мнимой степени соответственно. Предлагается алгоритм составления ОДУ для этих коэффициентов. Первый коэффициент является решением укороченного уравнения. Для некоторых исходных уравнений он является многочленом. Спрашивается: будут ли многочленами следующие коэффициенты? Здесь этот вопрос изучается для третьего, пятого и шестого уравнений Пенлеве. Оказалось, что в семи из восьми семейств сложных разложений и в двух из четырëх семейств экзотических разложений вторые коэффициенты — многочлены. Но в трëх оставшихся семействах вторые коэффициенты являются многочленами только при определëнных условиях. Здесь подробно изложены доказательства и вычисления этих результатов.