Инвариантные разностные схемы для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, обладающих симметриями

Дается обзор серии публикаций (указанных во введении), в которых исследовались групповые свойства, первые интегралы и интегрируемость разностных уравнений и сеток, аппроксимирующих обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, обладающих симметриями. Обзор дополняется новым примером таких уравнений. Кроме того, показывается, что среди параметрических семейств инвариантных разностных схем присутствуют точные схемы, то есть схемы, общее решение которых совпадает с соответствующим множеством решений дифференциальных уравнений в узлах сетки, плотность которых может быть произвольной. Тем самым показывается, что для рассматриваемых задач существует своеобразный математический дуализм: для одного и того же физического процесса существует две математических модели, — непрерывная и дискретная; первая описывается непрерывными кривыми, вторая — точками на тех же кривых.