Оптимизация факторизованных предобусловливаний метода сопряженных градиентов для решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной матрицей

В работе рассмотрена задача итерационного решения системы линейных алгебраических уравнений $Ax=b$ методом сопряженных градиентов с использованием факторизованного предобусловливателя вида $B=(I+LZ)Y(I+ZU)$, где $A=D+L+U$ представляет собой расщепление матрицы коэффициентов на строго нижнетреугольную, диагональную и строго верхнетреугольную. Представлен подход к отысканию диагональных матриц $Y > 0$ и $Z$, основанный на минимизации некоторой верхней оценки K-числа обусловленности матрицы, обратной к предобусловленной, применимый для любой симметричной положительно определенной матрицы $A$. Основными достоинствами предлагаемого нового метода являются: широкая область применимости, небольшое число арифметических действий на каждой итерации, хорошая параллелизуемость всех этапов вычислений, а также достаточное сокращение числа итераций при подходящей настройке алгоритма предобусловливания. Приводятся результаты расчетов тестовых задач.