Гиперболичность ковариантных систем уравнений первого порядка для векторного и скалярных полей

Рассмотрен класс систем $\dot{\boldsymbol{u}}=\mathsf{L}'[\boldsymbol{u},\boldsymbol{\rho}]$, $\dot{\boldsymbol{\rho}}=\mathsf{L}''[\boldsymbol{u},\boldsymbol{\rho}]$ квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, описывающих изменение со временем пары $\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{\rho}\rangle$, состоящей из векторного поля $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)$ и набора $\boldsymbol{\rho}=\langle\rho^{(s)}(\boldsymbol{x},t);\ s=1,\dots,N\rangle$, $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3$ скалярных полей. Класс состоит из систем, инвариантных относительно трансляций времени $t\in\mathbb{R}$ и пространства $\mathbb{R}^3$, а также преобразующихся ковариантным образом при вращениях $\mathbb{R}^3$. Дается описание соответствующего класса нелинейных дифференциальных операторов $\mathsf{L}=\langle\mathsf{L}'[\cdot],\mathsf{L}''[\cdot]\rangle$ первого порядка, действующих в функциональном пространстве $C_{1,\mathrm{loc}}^{3+N}(\mathbb{R}^3)$, которые являются генераторами эволюции. Найдены условия, при которых пара $\mathsf{L}$ операторов порождает гиперболическую систему.