О наполненности подалгебры локальных абсолютно суммирующих операторов

Под локальным абсолютно суммирующим оператором понимается оператор $T$, действующий в $l_p(\mathbb{Z}^c,X)$, $1\le p\le\infty$, вида
\begin{equation*} (Tx)_k=\sum_{m\in\mathbb{Z}^c}b_{km}x_{k-m}, \quad k\in\mathbb{Z}^c, \end{equation*}
где $X$ — банахово пространство, $b_{km}\colon X\to X$ — абсолютно суммирующие операторы и
\begin{equation*} \lVert b_{km}\rVert_{\mathbf A\mathbf S(X)}\le\beta_{m} \end{equation*}
для некоторого $\beta\in l_{1}(\mathbb{Z}^c,\mathbb{C})$, $\lVert\cdot\rVert_{\mathbf{A}\mathbf{S}(X)}$ — норма идеала абсолютно суммирующих операторов. Установлено, что если оператор $\mathbf{1}+T$ обратим, то обратный оператор имеет вид $\mathbf{1}+T_1$, где $T_1$ — также локальный абсолютно суммирующий оператор. Аналогичное утверждение также доказано для случая, когда оператор $T$ действует в $L_p(\mathbb{R}^c,\mathbb{C})$, $1\le p\le\infty$.